유일 인수 분해 정역

3. 성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

:가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체

데데킨트 정역 $R$의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $R$는 유일 인수 분해 정역이다.
• $R$는 주 아이디얼 정역이다.
• $R$의 아이디얼 유군이 자명군이다.
• $R$의 유수가 1이다.

• UFD에서는 기약원은 반드시 소원이다. (일반적인 정역에서는 모든 소원이 기약원이지만, 그 역이 항상 성립하는 것은 아니다.)^[4] 또한, 주 아이디얼에 대한 오름 사슬 조건(ACCP)을 만족하는 정역에서는 모든 기약원이 소원이면 UFD가 된다.
• UFD의 임의의 두 원소 ''a'', ''b''는 최대공약원과 최소공배원을 갖는다. 여기서 ''a''와 ''b''의 최대공약원은 ''a''와 ''b''를 모두 나누는 원소 ''d''이며, ''a''와 ''b''의 다른 모든 공약원은 ''d''를 나눈다. ''a''와 ''b''의 모든 최대공약원은 서로 동반원이다.
• 모든 UFD는 정수적으로 닫혀 있다. 즉, UFD $R$의 분수체를 $K$라고 할 때, $K$의 원소 $k$가 $R$에 계수를 갖는 모닉 다항식의 근이라면, $k$는 반드시 $R$의 원소이다.
• UFD $A$의 곱셈적으로 닫힌 집합 $S$에 대하여, 국소화 $S^\{-1\}A$ 역시 UFD이다.

3. 1. 유일 인수 분해의 충분 조건

• 유일 인수 분해 정역이다.
• 높이가 1인 모든 소 아이디얼이 주 아이디얼이다.

• $r\backslash ne0$
• $(r)$는 소 아이디얼이다.
• 국소화 $R\_r$는 유일 인수 분해 정역이다.

3. 2. 대수적 정수환의 유일 인수 분해

4. 예

수학에서 등장하는 많은 환들이 유일 인수 분해 정역(UFD)을 이룬다.
유일 인수 분해 정역인 경우

• 모든 주 아이디얼 정역(PID)은 유일 인수 분해 정역이다. 따라서 모든 유클리드 정역 역시 유일 인수 분해 정역이다. 대표적인 예는 다음과 같다.
• 정수의 환 $\backslash mathbb\; Z$ (산술의 기본 정리 참조)
• 가우스 정수 환 $\backslash mathbb\; Z[i]$
• 아이젠슈타인 정수 환 $\backslash mathbb\; Z[\backslash omega]$ (여기서 $\backslash omega\; =\; e^\{2\backslash pi\; i\; /\; 3\}$)
• 모든 체는 유일 인수 분해 정역이다. 체에서는 0이 아닌 모든 원소가 가역원이므로 이는 자명하게 성립한다. 유리수체 $\backslash mathbb\; Q$, 실수체 $\backslash mathbb\; R$, 복소수체 $\backslash mathbb\; C$, 유한체 등이 포함된다.
• 환 $R$이 유일 인수 분해 정역이면, $R$을 계수로 갖는 다항식 환 $R[X]$도 유일 인수 분해 정역이다.
• 이를 귀납적으로 적용하면, 유일 인수 분해 정역(특히 체 또는 정수 환 $\backslash mathbb\; Z$) 위의 임의 개수 변수를 갖는 다항식 환 $R[X\_1,\; \backslash dots,\; X\_n]$ 역시 유일 인수 분해 정역임을 알 수 있다.
• 체 $K$ 위의 다변수 다항식 환 $K[X\_1,\; \backslash dots,\; X\_n]$ (단, $n\; \backslash ge\; 2$)은 주 아이디얼 정역이 아닌 유일 인수 분해 정역의 대표적인 예이다. 예를 들어, $K[X\_1,\; X\_2]$에서 아이디얼 $(X\_1,\; X\_2)$는 주 아이디얼이 아니다.
• 체 $K$ 위의 형식적 멱급수 환 $KX\_1,\backslash dots,X\_n$은 유일 인수 분해 정역이다. 더 일반적으로, 주 아이디얼 정역과 같은 정칙 국소환 위의 형식적 멱급수 환도 유일 인수 분해 정역이다.
• 단, 유일 인수 분해 정역 $R$ 위의 형식적 멱급수 환 $RX$가 반드시 유일 인수 분해 정역인 것은 아니다. 예를 들어, $R$이 $k[x,\; y,\; z]/(x^2\; +\; y^3\; +\; z^7)$의 소 아이디얼 $(x,\; y,\; z)$에서의 국소화라면, $R$은 유일 인수 분해 정역인 국소환이지만, $RX$는 유일 인수 분해 정역이 아니다.
• 아우스랜더-부흐스바움 정리에 따르면, 모든 정칙 국소환은 유일 인수 분해 정역이다.
• 원환 $\backslash mathbb\{Z\}[e^\{2\; \backslash pi\; i\; /\; n\}]$는 $1\; \backslash le\; n\; \backslash le\; 22$인 모든 정수 $n$에 대해 유일 인수 분해 정역이지만, $n\; =\; 23$일 때는 아니다.
• 모리(Mori)는 자리스키 환(예: 뇌터 국소환)의 완비화가 유일 인수 분해 정역이면, 원래의 환도 유일 인수 분해 정역임을 보였다.^[1] 이 명제의 역은 성립하지 않는다. 즉, 유일 인수 분해 정역이지만 그 완비화는 유일 인수 분해 정역이 아닌 뇌터 국소환이 존재한다. 예를 들어, $k[x,\; y,\; z]/(x^2\; +\; y^3\; +\; z^5)$의 소 아이디얼 $(x,\; y,\; z)$에서의 국소화는 그 완비화와 함께 유일 인수 분해 정역이지만, 유사한 형태인 $k[x,\; y,\; z]/(x^2\; +\; y^3\; +\; z^7)$의 소 아이디얼 $(x,\; y,\; z)$에서의 국소화는 유일 인수 분해 정역이지만 그 완비화는 그렇지 않다.
• 표수가 2가 아닌 체 $R$ 위에서, $Q$가 변수 $X\_1,\; \backslash dots,\; X\_n$에 대한 비특이 이차 형식이고 $n\; \backslash ge\; 5$일 때, 환 $R[X\_1,\; \backslash dots,\; X\_n]/Q$는 유일 인수 분해 정역이다 (클라인-나가타). $n\; =\; 4$일 때는 유일 인수 분해 정역이 아닐 수 있다. 예를 들어, $R[X,\; Y,\; Z,\; W]/(XY\; -\; ZW)$는 $XY\; =\; ZW$라는 관계식 때문에 유일 인수 분해 정역이 아니다. 이는 $XY$와 $ZW$가 같은 원소의 서로 다른 인수분해이기 때문이다.
• 원점에서 정칙인, 정해진 개수의 복소 변수를 가지는 함수들의 환은 유일 인수 분해 정역이다.
• 몇 가지 구체적인 예시는 다음과 같다.^[2]
• 환 $\backslash mathbb\{Q\}[x,\; y]/(x^2\; +\; 2y^2\; +\; 1)$는 유일 인수 분해 정역이지만, 환 $\backslash mathbb\{Q\}(i)[x,\; y]/(x^2\; +\; 2y^2\; +\; 1)$는 그렇지 않다.
• 환 $\backslash mathbb\{Q\}[x,\; y]/(x^2\; +\; y^2\; -\; 1)$는 유일 인수 분해 정역이 아니지만, 환 $\backslash mathbb\{Q\}(i)[x,\; y]/(x^2\; +\; y^2\; -\; 1)$는 유일 인수 분해 정역이다.
• 2차원 실수 구면의 좌표환 $\backslash mathbb\{R\}[X,\; Y,\; Z]/(X^2\; +\; Y^2\; +\; Z^2\; -\; 1)$는 유일 인수 분해 정역이지만, 복소 구면의 좌표환 $\backslash mathbb\{C\}[X,\; Y,\; Z]/(X^2\; +\; Y^2\; +\; Z^2\; -\; 1)$는 그렇지 않다.
• 변수 $X\_i$에 가중치 $w\_i$가 주어지고, $F(X\_1,\; \backslash dots,\; X\_n)$가 가중치 $w$를 갖는 동차 다항식이라고 가정하자. 만약 $c$가 $w$와 서로소이고 $R$이 유일 인수 분해 정역이며, $R$ 위의 모든 유한 생성 사영 가군이 자유이거나 $c\; \backslash equiv\; 1\; \backslash pmod\; w$이면, 환 $R[X\_1,\; \backslash dots,\; X\_n,\; Z]/(Z^c\; -\; F(X\_1,\; \backslash dots,\; X\_n))$는 유일 인수 분해 정역이다.^[3]

• 대수적 정수환 $\backslash mathbb\; Z[\backslash sqrt\{-5\}]$는 유일 인수 분해 정역이 아니다. 예를 들어, 원소 6은 다음과 같이 두 가지 방식으로 기약원들의 곱으로 나타낼 수 있다.

• 복소 평면 $\backslash mathbb\; C$ 전체에서 정칙 함수인 함수들의 환은 유일 인수 분해 정역이 아니다. 이는 무한히 많은 영점을 갖는 함수는 유한 개의 기약원(인수)으로 분해될 수 없기 때문이다. 예를 들어, 복소 사인 함수 $z\; \backslash mapsto\; \backslash sin\; z$는 $z\; =\; n\backslash pi$ ($n$은 정수) 형태의 무한히 많은 영점을 가지므로 유한한 인수분해가 불가능하다.

5. 유일 인수 분해가 되지 않는 예

유일 인수 분해 정역이 아닌 정역의 예는 다음과 같다.

• 대수적 정수환 $\backslash mathbb\; Z[\backslash sqrt\{-5\}]$는 유일 인수 분해 정역이 아니다. 이 환은 $a$와 $b$가 정수인 $a+b\backslash sqrt\{-5\}$ 형태의 모든 복소수로 구성된 이차 정수환이다. 예를 들어, 원소 6은 다음과 같이 두 가지 방법으로 기약원의 곱으로 인수분해될 수 있다.

• 복소 평면 $\backslash mathbb\; C$ 위의 정칙 함수(또는 전해석 함수)들의 환은 유일 인수 분해 정역이 아니다. 이는 무한히 많은 영점을 갖는 함수는 유한 개의 기약원으로 인수 분해할 수 없기 때문이다. 유일 인수 분해 정역에서는 모든 원소가 유한 개의 기약원의 곱으로 표현되어야 한다. 예를 들어, 복소 사인 함수 $z\backslash mapsto\; \backslash sin(\backslash pi\; z)$는 다음과 같이 무한 곱으로 표현되며, 무한히 많은 기약 인수를 가진다.

• 다항식환의 잉여환은 대부분 유일 인수 분해 정역이 되지 않는다. 예를 들어 $R$을 가환환이라고 할 때, $R[X,\; Y,\; Z,\; W]/(XY\; -\; ZW)$는 유일 인수 분해 정역이 아니다. 이 환에서 $X,\; Y,\; Z,\; W$는 모두 기약원이지만, $XY\; =\; ZW$라는 관계식 때문에 $XY$는 두 가지 다른 기약원 분해 $XY$와 $ZW$를 가진다.

• 뇌터 환이라고 해서 반드시 유일 인수 분해 정역인 것은 아니다. 임의의 뇌터 환에서, 0이 아니고 단위원이 아닌 모든 원소는 반드시 기약원의 곱으로 쓸 수 있지만, 그 곱 표현이 유일하지 않을 수 있다.

6. UFD가 되기 위한 동치 조건

정역 ''A''에 대해 다음 조건들은 서로 동치이다.

• ''A''는 유일 인수 분해 정역이다.
• ''A''의 모든 0이 아닌 소 아이디얼은 소원을 포함한다. (어빙 캡란스키)
• ''A''는 주 아이디얼에 대한 오름 사슬 조건 (ACCP)을 만족하고, 국소화 ''S''⁻¹''A''는 유일 인수 분해 정역이다. 여기서 ''S''는 소원소에 의해 생성된 ''A''의 곱셈적으로 닫힌 집합이다. (나가타 기준)
• ''A''는 주 아이디얼에 대한 오름 사슬 조건 (ACCP)을 만족하고 모든 기약원이 소원이다.
• ''A''는 원자 정역 (영원이 아니며 단원이 아닌 임의의 원소가 기약원의 유한 곱으로 나타낼 수 있는 정역)이고 모든 기약원은 소원이다.
• ''A''는 GCD 정역 (임의의 두 원소에 대해 최대공약수가 존재하는 정역)이고 주 아이디얼에 대한 오름 사슬 조건 (ACCP)을 만족한다.
• ''A''는 Schreier 정역이고,^[1] 원자 정역이다.
• ''A''는 전-Schreier 정역이고 원자 정역이다.
• ''A''는 모든 약수가 주 아이디얼인 약수 이론을 갖는다.
• ''A''는 모든 약수 아이디얼이 주 아이디얼인 크룰 정역이다 (이는 부르바키의 UFD 정의이다).
• ''A''는 크룰 정역이고 높이 1인 모든 소 아이디얼이 주 아이디얼이다.

• ''R''는 유일 인수 분해 정역이다.
• ''R''는 주 아이디얼 정역이다.
• ''R''의 아이디얼 유군이 자명군이다.
• ''R''의 유수가 1이다.

참조

_[1] 문서 A Schreier domain is an integrally closed integral domain where, whenever ''x'' divides ''yz'', ''x'' can be written as {{nowrap|1=''x'' = ''x''₁ ''x''₂}} so that ''x''₁ divides ''y'' and ''x''₂ divides ''z''. In particular, a GCD domain is a Schreier domain
_[2] 논문 P. M. Cohn, ''Noncommutative Unique Factorization Domains'' https://www.ams.org/[...]
_[3] 웹사이트 Factorizations of Elements in Noncommutative Rings: A survey https://arxiv.org/pd[...] 2018-07-24
_[4] 문서 素数の、自分自身と {{math|1}} 以外に約元を持たないという性質に対応するものが'''既約元'''、いくつかの数を因子とする積を素数が割るならばその中のある因子がその素数によって割られるという性質に対応するものが'''素元'''である。
_[5] 문서 '''シュライアー整域'''とは、整閉整域であって、その任意の元 {{mvar|x}} が積 {{mvar|yz}} を整除する限りにおいて常に、{{mvar|y}} を割る {{math|''x''{{sub|1}}}} と {{mvar|z}} を割る {{math|''x''{{sub|2}}}} を用いて、{{math2|''x'' {{=}} ''x''{{sub|1}}''x''{{sub|2}}}} の形に書けるものをいう。特に GCD 整域はシュライアー整域である。
_[6] 서적 Commutative algebra with a view toward algebraic geometry Springer-Verlag 1995
_[7] 서적 Commutative ring theory Cambridge University Press 1989-06
_[8] 저널 Unique factorization in regular local rings 1959